Stochastic Coalitional Better-response Dynamics and Strong Nash Equilibrium

We consider coalition formation among players in an n-player finite strategic game over infinite horizon. At each time a randomly formed coalition makes a joint deviation from a current action profile such that at new action profile all players from the coalition are strictly benefited. Such deviations define a coalitional better-response (CBR) dynamics that is in general stochastic. The CBR dynamics either converges to a strong Nash equilibrium or stucks in a closed cycle. We also assume that at each time a selected coalition makes mistake in deviation with small probability that add mutations (perturbations) into CBR dynamics. We prove that all strong Nash equilibria and closed cycles are stochastically stable, i.e., they are selected by perturbed CBR dynamics as mutations vanish. Similar statement holds for strict strong Nash equilibrium. We apply CBR dynamics to the network formation games and we prove that all strongly stable networks and closed cycles are stochastically stable. Key-words: Strong Nash equilibrium, Coalitional better-response, Stochastic stability, Network formation games, Strongly stable networks. ∗ Inria Sophia Antipolis, France, [email protected] † Inria Sophia Antipolis, France, [email protected] ‡ The authors’ names are given in alphabetical order. La dynamique de meilleure réponse de coalitions et l’équilibre de Nash fort Résumé : Nous considérons un processus de formation de coalitions entre les joueurs d’un jeu fini stratégique sur l’horizon de temps infini. Á chaque étape, une coalition formée au hasard fait une déviation conjointe de l’ensemble actuel des actions de telle sorte qu’au nouveau ensemble des actions, tous les joueurs de la coalition sont strictement bénéficié. Telles déviations définissent une dynamique de meilleure réponse de coalitions, Coalitional Better-Response dynamics en anglais (CBR), qui est en général stochastique. La dynamique CBR soit converge vers un équilibre de Nash fort ou á un cycle fermé. En outre, nous supposons que á chaque étape une coalition sélectionnée fait une faute avec faible probabilité qui ajoutent des mutations (perturbations) dans la dynamique CBR. Nous prouvons que tous les équilibres de Nash forts et les cycles fermés sont stochastiquement stable, ce est á dire, ils sont choisis par CBR perturbée quand les mutations disparaissent. Une affirmation similaire a lieu pour l’équilibre de Nash fort et stricte. Nous appliquons la dynamique CBR aux jeux de formation de réseau et nous prouvons que tous les réseaux fortement stables et des cycles fermés sont stochastiquement stable. Mots-clés : Forte équilibre de Nash, Coalitionnelle meilleure réponse, Stabilité stochastique, Jeux de formation de réseau, Réseaux fortement stable. Stochastic Coalitional Better-response Dynamics and Strong Nash Equilibrium 3